Ueda atraktor

Ueda atraktor

Typickým příkladem systému s podivným atraktorem je tzv. “chaotické kyvadlo”, které studoval japonský matematik Jošisuke Ueda koncem 70.let minulého století. Jedná se o nelineární elektronický obvod s vnějším vstupem, který je relativně jednoduchý, ale projevuje mimořádně komplexní chování. Každý výkyv tohoto chaotického oscilátoru je jedinečný. Systém se nikdy neopakuje, takže každý cyklus probíhá v nové oblasti fázového prostoru. Přes zdánlivě chaotický pohyb nejsou nicméně body ve fázovém prostoru rozmístěny náhodně, ale vytvářejí společně komplex vysoce organizovaných struktur tzv. Uedův atraktor.

Uedův atraktor ve fázovém prostoru

Diskrétní systémy a chaos

Diskrétní systémy a chaos

Dynamický systém se může chaotizovat, když se jeho atraktor změní na podivný. Ukázalo se však, že to není jediný scénář přechodu na chaotický režim. Odlišný scénář přechodu na chaos objevil Feigenbaum zkoumáním diskrétních systémů, tzv. systémů s posunutým časem popsaných logistickými rovnicemi. Systémy s posunutým časem jsou systémy, ve kterých se uskutečňují skokové změny v počtu subsystémů vždy po určitých časových intervalech. Tento problém je zajímavý i z hlediska konfrontace diskrétního a kontinuálního přístupu k popisu přírodních procesů.

Všechny procesy v přírodě mají v principu diskrétní povahu, protože jak látka tak její pole mají diskrétní strukturu. I přesto se je snažíme popsat pomocí diferenciálních rovnic, t.j. volíme kontinuální přístup. Přezkoumání tohoto problému je výhodné uskutečnit na systémech, ve kterých se diskrétnost dostatečně zřetelně projevuje. Takovými jsou např. různé biologické systémy, ve kterých se odehrávají skokové změny v počtech “narozením“ potomků, množení buněk atd.

Vznik deterministického chaosu Feingenbaumovým mechanismem si můžeme ilustrovat názorným příkladem. Představme si vagón na kolejích. Pokud se nachází v místě, ve kterém kolejnice nejsou rozdvojené, má k dispozici jen jednu dovolenou stabilní polohu. Když se pomocí konkrétní (a na malé fluktuace reagující) výhybky může přesunout do míst, kde jsou kolejnice rozdvojené, potom má už k dispozici dva stabilní stavy. Další rozdvojování zdvojnásobuje počet dovolených stabilních stavů až do doby, pokud kolejnice nezmizí vůbec, potom už jsou všechny stavy možné a vagón se octne tam, kde ho usměrní fluktuace. Je zřejmé, že tento výsledný stav není předpověditelný.

Otázka zní, zda někde v přírodě se můžeme setkat s takovým scénářem o vzniku chaosu. Experiment ukázal, že nejen v biologickém světě, kde je to úplně běžné, ale také v anorganické přírodě můžeme tento scénář spolehlivě potvrdit (např. při pozorování chaotizace kapaliny umístěné mezi dva rolující válce). V poslední době se ukázalo, že také průběh některých chorob, např. leukémie a AIDS, zřetelně prokazují Feigenbaumův scénář o vzniku chaosu.

Duffing oscilátor

Duffing oscilátor

Tento nelineární oscilátor je příkladem systému, který se stává chaotický v průběhu své činnosti, a to i přesto, že je poháněný periodickou silou. Popisuje se touto jednoduchou rovnicí:

Jedná se o oscilátor s dvojitou strukturou, kde jednotlivé části jsou spojeny nestabilním bodem rovnováhy. V rovnovážném stavu se jedná o pravidelné oscilace, chaotické oscilace se objeví v momentě přesažení bodu rovnováhy. Duffingův oscilátor stejně jako všechny nelineární systémy je citlivý na minimální změnu vstupních podmínek. Využití rovnic, které popisují tento oscilátor je mnohostranné, například s ním lze modelovat proudění v kapalinách a nebo předpovídat námahu a chování materiálů zatížených pravidelnými vibracemi.

Wolframovy třídy

Wolframovy třídy celulárních automatů

Na počítačových simulacích komplexity lze pomocí jednoduchých programů definovat “nekonečné vesmíry” celulárních automatů tím, že se zvolí různá pravidla, která řídí jejich evoluci. Matematici se zabývají otázkou, jestli je obecné chování celulárních automatů stejnou měrou různorodé, nebo se v nich objevují nějaké všeobecně platné rysy. Pokud existují univerzální rysy, umožnily by nám říci něco o typech chování, které je možné v jakémkoli komplexním systému simulovaném tímto způsobem.

Matematik Stephen Wolfram se ve svých ranných studiích pokusil definovat, jak souvisejí lokální pravidla s globálním chováním. Krása celulárních automatů spočívá v tom, že poskytly Wolframovi nepřekonatelně jednoduché počítačové prostředí pro studium otázky, odkud se bere komplexita. Wolfram studoval nejjednodušší “vesmír”, jednorozměrné automaty, kde všechny body jsou uspořádány na přímce. Počáteční stav celulárního automatu, definovaný stavy všech jeho buněk, byl nastaven náhodně a zobrazen na obrazovce počítače.

Wolfram dospěl k závěru, že bez ohledu na to, jaká specifická lokální pravidla se použijí, dlouhodobé chování celulárních automatů se dá roztřídit do čtyř typů.

• třída I – v níž obrazce časem zmizí a změní se na pevný, statický, homogenní stav
• třída II – v níž se vyvinou obrazce se stálou konečnou dobou trvání a tvoří struktury, které se donekonečna opakují
• třída III - vykazuje takzvané chaotické stavy (tedy struktury, které se nikdy neopakují), nepodobající se ničemu pravidelnému
• třída IV – v níž nepravidelně vyrůstají a zase mizejí komplexní obrazce

Tak mohou z nekonečné množiny možných jednoduchých lokálních pravidel povstávat čtyři kvalitativně odlišné typy globální dynamiky.

Třída IV je nejzáhadnější a automaty, které do ní patří, mají nejkomplexnější chování. Jedním příkladem je Conwayova hra Life. Takovéto automaty vykazují značnou lokální organizaci, avšak málo dalekodosahového uspořádání. Když si Wolfram uvědomil, že o hře Life se již dříve vědělo, že může být základem univerzálních výpočtů, přišel s hypotézou, že celulární automaty třídy IV budou obecně schopny provádět výpočetní úkony, možná včetně univerzálních výpočtů. Později se ukázalo, že tato třida tvoří hranici mezi periodickým (třída II) a chaotickým (třída III) chováním. Na základě skutečnosti, že se celulární automaty používají jako modely živých systémů v celé jejich komplexitě, dospěli někteří badatelé k závěru, že mezi biologickým životem a umělými systémy schopnými provádět univerzální výpočty jsou nápadné paralely.

Fraktál – pomůcka k pochopení tvorby složitých struktur

Fraktál – pomůcka k pochopení tvorby složitých struktur

Fraktály jsou matematickou strukturou, základními melodiemi prakticky všech kauzálních i statistických (náhodných) jevů. Je to doslova hudba vesmíru, která vytváří reálné jevy, a s jejíž pomocí jsou mnohé tyto jevy vysvětlitelné a modelovatelné. Fraktály představují také z jistého pohledu velmi ekonomické struktury, cesty, po kterých chodí příroda, protože představují cesty nejmenšího odporu. Viditelné fraktály nebo jejich zákonité připomínky nalezneme ve struktuře krystalů, sněhových vloček, větví, listí, živočišných tkání a těl. Fraktálem je i krevní řečiště, krevní buňky, buňky imunitního systému, ale i lidský mozek. Také šroubovice DNA je krajně ekonomickou strukturou, která má některé aspekty fraktálu. Kdyby se potvrdila existence bioenergetické rezonance, pak by DNA, ale i mnohé další fraktální biologické struktury představovaly ideální vysílací i přijímací anténu, ideální biorezonátor. Možná příroda při výběru nejvhodnějších tvarů pro buňky, orgány a těla živých organizmů nevybírala podle fraktálních pravidel jen z hlediska „mechanické” (fyzikální, chemické a biologické) ekonomičnosti. Ale že zároveň uplatňovala hledisko optimální rezonance, aby mohla buňka, orgán či celý organizmus pro „řízení rovnováhy a výroby” čerpat nejen informace známými cestami (například genetickou informaci prostřednictvím replikace genetického materiálu), ale i informace cestami pro nás zatím neznámými (fraktální informace). Mechanistická biologie a biochemie jen s obtížemi vysvětlují, jak může byť jen jediná buňka organizmu fungovat a plnit tolik komplexních funkcí. Ani úplné poznání činnosti genů a biochemických mechanizmů to nikdy nevysvětlí. Opravdu to často v přírodě vypadá, jakoby buňky a celé organizmy byly schopné rezonovat mezi sebou navzájem (a učit se od sebe) a nebo si dokonce „číst v jakémsi strukturálním pravzoru každé buňky, orgánu, rodu či druhu“, který pomáhá udržovat stabilitu přírodních struktur.

(Ludvík Fritscher)

 

L-systémy

L-systémy

L-systémy, v minulosti též známé pod názvem Lindenmayerovy systémy, jsou skupinou fraktálů definovaných ve své nejjednodušší podobě pomocí regulárních nebo bezkontextových přepisovacích gramatik. Podstatou tvorby těch nejjednodušších a nejpoužívanějších L-systémů je přepisování řetězců podle určitých pravidel, která jsou buď předem zadaná množinou přepisovacích pravidel (gramatiky), nebo se mění v průběhu generování fraktálního obrazce, například na základě zpětné vazby či na podněty okolního prostředí (gravitace, dopadající světlo apod.). Přepisování některých symbolů řetězce je většinou pevně dané, ale může být také určeno na základě generátoru náhodných čísel (stochastické L-systémy). Každý symbol v řetězci má přiřazen jistý geometrický význam, například transformaci, generování nebo nakreslení objektu.

S pomocí L-systémů lze generovat fraktální objekty, které se podobají rostlinám, stromům a dalším přírodním útvarům. Poslední aplikace také směřují k využití těchto fraktálů při generování 3D modelů technologických artefaktů a dokonce i textur. Z toho, jak se fraktál pomocí L-systémů generuje, je zřejmé, že se jedná o deterministický postup (pokud se při aplikaci přepisovacích pravidel nepoužije generátor náhodných čísel) a výsledný fraktál je tedy též deterministický.

 

Celulární automaty (CA)

Celulární automaty (CA)

Celulární automaty (CA) původně zavedli Ulam a von Neumann ve čtyřicátých letech minulého století jako matematický model pro vyšetřování chování složitých systémů a sebereplikace. Celulární automaty jsou dynamické systémy tvořené diskrétní soustavou buněk, z nichž každá se může nacházet v jednom stavu z konečné množiny stavů. Geometrické uspořádání buněk CA je specifikováno jeho dimenzí, která může být jednorozměrná, dvourozměrná, případně i vícerozměrná. Stavy buněk jsou aktualizovány synchronně v diskrétních časových krocích v závislosti na lokálním přechodovém pravidle, které určuje následující stav každé buňky v závislosti na aktuálním stavu této buňky a na stavech buňek v jejím sousedství. Celulární automat lze tedy plně charakterizovat geometrií buněčné mříže, tvarem sousedství, počtem stavů buňky a množinou lokálních přechodových pravidel.

Do dnešní doby mají celulární automaty velké množství aplikací v různých oborech. Pomocí celulárních automatů byl popsán například růst krystalů, transport sněhu větrem s erozí a depozicí, difuze tepla a znečištění, a dále turbulentní proudění, tok lávy, šíření vln v heterogenním prostředí, dynamika mísitelných a nemísitelných tekutin a pórovitých látek, silniční transportní systémy a mnoho biologických systémů od genetické úrovně počínaje až po systémy rostlin a ekologické interakce. Mohou být použity k modelování různých nástrojů, používaných v teorii formálních jazyků, jako Turingova stroje a jiných výpočetních systémů. Pravděpodobně nejznámější aplikací celulárních automatů je Conwayova hra Život (Game of Life) představující simulaci umělého života buněk v dvourozměrném prostoru.

Umělá inteligence – UI

Umělá inteligence – UI

Nejprve stručná definice jak chápe moderní věda inteligenci obecně: “Inteligence je vlastností některých živých organismů. Vznikla a vyvíjela se v průběhu dlouhého časového intervalu a dnes umožňuje některým živým organismům efektivně reagovat na složité projevy prostředí a aktivně je využívat ve svůj prospěch a k dosažení svých cílů.”

Zařazení umělé inteligence jako oboru je vcelku obtížné. Lze na ni pohlížet jako na matematickou disciplínu s aplikacemi, nebo také jako na technický obor. Umělá inteligence (UI) jako vědní disciplína se postupně formuje v posledních třiceti letech jako průsečík několika disciplín, jakými jsou např. psychologie, neurologie, kybernetika, matematická logika, teorie rozhodování, informatika, teorie her, lingvistika atd. Obor UI volně sdružuje různorodé teorie, metody a techniky, které lze úspěšně používat k počítačovému řešení některých složitých úloh rozhodování, plánování, diagnostiky apod.

Marvin Minsky tvrdí, že „… umělá inteligence je věda o vytváření strojů nebo systémů, které budou při řešení určitého úkolu užívat takového postupu, který – kdyby ho dělal člověk – bychom považovali za projev jeho inteligence.” Tato definice vychází z Turingova testu. Vyplývá z ní, že úlohy jsou tak složité, že i u člověka by vyžadovaly použití inteligence. Otázkou však je, jaké vlastnosti má složitost a “inteligentní” řešení ? Složitost lze ohodnotit počtem všech řešení, které připadají v úvahu. Ale hledání řešení pouhým prohledáváním stavového prostoru možných řešení není možné u složitějších úloh ani prostřednictvím superrychlých počítačů. Tento postup navíc není možno nazvat inteligentním. Je tedy nutno omezit velikost množiny prohledávaných řešení, což se děje na základě využívání znalostí.

E. Richová se domnívá, že „… umělá inteligence se zabývá tím, jak počítačově řešit úlohy, které dnes zatím zvládají lidé lépe.“ Tato definice se bezprostředně váže na aktuální stav v oblasti počítačových věd a je možno očekávat, že se v budoucnosti bude ohnisko této vědy posouvat a měnit. Nevýhodou této – jinak velmi výstižné – definice je fakt, že nezahrnuje úlohy, které dosud neumí řešit počítače, ale ani člověk.

Alternativní definice:

• UI je označení uměle vytvořeného jevu, který dostatečně přesvědčivě připomíná přirozený fenomén lidské inteligence.
• UI označuje tu oblast poznávání skutečnosti, která se zaobírá hledáním hranic a možností symbolické, znakové reprezentace poznatků a procesů jejich nabývání, udržování a využívání.
• UI se zabývá problematikou postupů zpracování poznatků – osvojováním a způsobem použití poznatků při řešení problémů.

Obor zabývající se výzkumem a vývojem umělé inteligence je interdisciplinární vědou, která nemá pevně vymezený předmět zkoumání ani teoretický základ – jde spíše o soubor metod, teoretických přístupů a algoritmů, sloužících k řešení velmi složitých úloh.

Chaos v praxi

Chaos v praxi

Chaos je jako každá jiná teorie ukryt v pozadí celé řady různých vědních oborů. Přináší pro ně především nový a zajímavý pohled – něco odlišného od klasických newtonovských představ – a kromě jiného i např. nové směry v zobrazování vědeckých údajů (místo běžných funkčních závislostí lze interpretovat křivky ve fázovém prostoru ap.)

Některé přímé praktické aplikace:

• Modelování biologických systémů (růst populace, epidemie, arytmický kardiostimulátor)
• Modelování dalších systémů (obchody na burze, kapající kohoutek)
• Grafické aplikace (fraktální design, filmové efekty jako realistické mraky, skály, stíny)
• Fraktální komprese obrazu (slibuje velké kompresní poměry – složitý obrazec popíše jednoduchou rovnicí)

Stále více vědců se dnes kloní k názoru, že ke dvěma nesporným „revolucím“ dvacátého století, teorii relativity a kvantové mechanice, patří i třetí – teorie chaosu. Je zajímavé, byť v jistém smyslu nepříliš potěšující, že všechny tři zmíněné oblasti stanovují určité meze našemu poznání okolního světa:

1. Prvá udává mez rychlosti přenosu energie a informací (danou rychlostí světla ve vakuu)
2. Druhá pak dolní mez velikosti interakcí mezi systémy (určené Planckovou konstantou)
3. Chaos a nelineární dynamika konstatují zásadní omezení přesnější předpovědi chování jednoduchých systémů v delším časovém horizontu.

Nakonec je také nutno říci, že fraktální geometrie určitě v budoucnosti zaznamená velké úspěchy a otevře nám dveře k dalším tajům matematiky a nejen jí, které nebyly dosud popsány. Mnohé z metod konstruování fraktálů byly již úspěšně použity pro simulaci vývoje některých biologických struktur a na jejich další použití se čeká. Nalezení jasných a pevných pravidel, které by obsahovaly i vlivy vnitřních procesů, je i v současné době a se současnými znalostmi velice složité a obtížné.

Kmitání ve fázovém prostoru

Kmitání ve fázovém prostoru – Oldřich Lepil

Vhodným východiskem k seznámení s vybranými pojmy deterministického chaosu jsou poznatky o mechanickém kmitání, které modelujeme kmitáním pružinového oscilátoru, popř. kyvadla. Jsou to jednoduché systémy, na nichž lze dobře ukázat postup od idealizovaného systému, který kmitá se stálou amplitudou, k reálnému systému, jehož amplituda se vlivem ztrát energie zmenšuje, až oscilátor zaujme rovnovážný stav, který měl před tím, než mu byla vnějším působením dodána energie. Poměrně úplnou informaci o kmitání podává fázový diagram, který zobrazuje vzájemnou závislost polohy kmitajícího objektu a jeho rychlosti. Když nedochází ke ztrátám energie, amplituda výchylky ani rychlosti se nemění a fázový diagram má podobu kružnice, popř. elipsy.

Jde ovšem o jen o abstrakci. Na každý skutečný oscilátor působí tlumící síla, která způsobuje, že pohyb oscilátoru je tlumený a jeho fázový diagram má podobu spirály. Systém tak postupně směřuje do rovnovážného stavu, kterému na fázovém diagramu odpovídá koncový bod spirály. Systém je pak v ustáleném stavu, jehož obrazem je ve fázovém diagramu bod. Tlumený oscilátor jakoby byl k ustálenému stavu přitahován. Podle toho je cíl, k němuž systém při pohybu směřuje, označován jako atraktor systému.

Může ovšem nastat i situace, kdy na oscilátor kromě tlumící síly působí ještě vnější síla, která kmitání vynucuje a eliminuje tak ztráty, které při kmitání oscilátoru vznikají tlumením pohybu. Jestliže energie dodávaná vnější silou je větší než ztráty tlumením, amplituda oscilátoru bude narůstat a fázový diagram systému bude mít tvar rozvírající se spirály. Křivka ve fázovém prostoru je vlastně vyjádřením chování celého systému v delším časovém úseku, jeho „fázovým portrétem“.

Fázový diagram dvojitého kyvadla. V levo malá počáteční výchylka a v pravo chaotické chování při větší výchylce kyvadla.

Zajímavé jsou atraktory složitějších oscilátorů, které v závislosti na počátečních podmínkách vykazují chaotický pohyb. Jako příklad poslouží dvojité kyvadlo, složené ze dvou navzájem spojených kyvadel. Při malé počáteční výchylce je jeho fázový diagram poměrně jednoduchý, ale při větší výchylce se pohybuje chaoticky.

Toto jsou příklady nelineárních dynamických systémů, jejichž chování se jeví jako náhodné, ale model systému je „deterministický“ v tom smyslu, že neobsahuje žádné náhodné parametry. Je tedy třeba v přírodě rozlišovat děje s náhodným, stochastickým průběhem v souladu s představami o neuspořádanosti a neorganizovanosti. Na rozdíl od takto chápaného chaosu představuje deterministický chaos stav, kdy jednoduchý systém vykazuje složitý, ale přesně matematicky popsaný průběh, přičemž nutně nemusí jít o mechanický pohyb.

Disipativní systémy

Disipativní systémy

Zvláštní pozornost si zaslouží tzv. disipativní systémy, tj. systémy, které mají tu vlastnost, že ať se počáteční stav nachází kdekoli (v určité oblasti, tzv. oblasti přitažlivosti) ve fázovém prostoru, s rostoucím časem se trajektorie stahují do určité části tohoto prostoru s nulovým objemem. Jsou těmito oblastmi, zvanými atraktory, přitahovány.

Atraktory souvisí s limitním chováním se systému po odeznění “přechodových jevů” v čase “t”. Charakter tohoto limitního chování může podstatně záviset na hodnotách řídících parametrů. Při jejich změně dochází při určitých kritických hodnotách těchto parametrů k náhlé, kvalitativní změně v typu atraktoru a druhu pohybu. Takovému jevu se říká bifurkace.

Nejjednodušším atraktorem je bod, který odpovídá stavu klidu. Hodnoty veličin se přibližují jistým hodnotám v čase a poté se již nemění. Příkladem může být pohyb kyvadla, které v důsledku tření a znehodnocování mechanické energie třením na teplo (tj. disipací) se posléze zastaví. Poloha ani rychlost se pak již nemění. Jiným příkladem možného atraktoru je uzavřená orbita (tzv. limitní cyklus), podél níž systém trvale obíhá. Ilustrací je kyvadlo hodin, kterému je trvale dodávána energie zvenčí poklesem závaží či z elektrické baterie. Takový systém je disipativní, znehodnocuje energii, ta je však trvale doplňována. Systém je ovšem otevřený, je v kontaktu s okolím.

Právě otevřené disipativní systémy jsou nadějnými modely pro pochopení základních funkcí živých organismů. Pozoruhodným systémem tohoto druhu je kupř. série autokatalytických chemických reakcí (tzv. Bělousov-Žabotinského reakce), jejichž kinetika má charakter nelineárního dynamického systému. Je-li reakce uskutečněna v průtokovém chemickém reaktoru, lze periodické změny koncentrací látek, projevující se změnou barvy, pozorovat neomezeně dlouho.

Reakcemi tohoto typu byl inspirován I. Prigogine se svými spolupracovníky, když pionýrsky usilovali o pochopení jevu samoorganizace a vytváření struktur na půdě nelineární a nerovnovážné termodynamiky. Vhodný systém chemických reakcí by tak mohl hrát roli “biologických hodin” při odečítání času v živém organismu.

Řád v chaosu – D.Streit

Řád v chaosu – D.Streit

Není-li vesmír deterministicky zamrzlou krajinou, po které naše vědomí jen splývá v dávno předurčené roli, pak je čas jen předivem pro zrod událostí, které ve složitých soustavách jsou modelovatelné spíše statistickou mechanikou než diferenciálními rovnicemi. V této souvislosti jsou zajímavé zejména systémy, které jsou:

• otevřené a disipativní (rozptylují energii)
• dynamické a nestabilní
• s velkým počtem prvků a vazeb
• daleko od rovnovážného stavu
• se zpětnou vazbou a nelineárními vztahy

Zdánlivý chaos v těchto systémech, který by měl směřovat ke stále větší entropii, latentně obsahuje tzv. deterministický chaos, což je takové uspořádání nahodilostí a fluktuací, které vede až k samoorganizaci a evoluci těchto systémů. Paradoxně makroskopický řád nabude vrchu nad uspořádaností. Pouze v izolovaných systémech platí absolutně, že entropie jako míra neuspořádanosti s časem vždy roste, než vyrovnáním nehomogenit jsou vyčerpány možnosti změny a je dosaženo stabilního stavu. Avšak absolutně izolovaným systémem je snad pouze vesmír v celku. Jeho jakékoliv dynamické rozptylující dekomponenty však vede čas kroky samoorganizace a cestou evoluce směrem k řádu, byť nikoliv hladce, ale spíše trhaně, rozporně a poruchově.

Otevřený disipativní systém, u něhož nelze o žádné izolaci hovořit, má tendenci se organizovat a kolem sebe šířit entropii. V čase jím protéká energie a soustava se chová v tomto smyslu jako kanál, který na účet ostatního vesmíru samovolně uspořádává svou vnitřní strukturu ke stále efektivnější disipaci. Pokud má systém zpětnou vazbu, chová se autokatalyticky a systémem moderovaná disipace se umocňuje, strukturu zesiluje a vývoj se zrychluje. Vzhledem k minulosti jsou tyto systémy nevratné, vzhledem k budoucnosti nejsou předurčené.

Body, ve kterých má systém možnost volby svého dalšího chování, se nazývají bifurkacemi. Bifurkační strom vypadá jako binární strom, kde v každém bifurkačním bodě je rozcestí dvou větví. Bifurkačním grafem je systém dynamicky dekomponován tak, aby rozcestí v daném čase vždy vyjadřovalo pouze odpověď ve smyslu ANO-NE. Větvení tak odráží, zda určitá kritická hodnota byla nebo nebyla dosažena, zda byla dosažena určitá koncentrace nebo zda došlo k interakci. Jako by mezi bifurkačními body platil determinismus, ale v bifurkačních bodech se naplno uplatňovala nahodilost, pravděpodobnost a statistika.

V bifurkačním bodě nastávají i tzv. fázové přechody, když se například z vody stane led a v jiném bodě pára. V jednom časovém bodě však může nastat buď jedno nebo druhé. Více než dvě možnosti v tomto diskrétně vyděleném úseku vývoje systému nepřicházejí v úvahu a nastat může jen jediná. Svět je v tomto ohledu vpravdě binární. To jen paralelní vývoj jednotlivých částí makroskopických systémů nám dává příležitost svět vidět “barevnější” a pestřejší. K těmto fázovým přechodům může dojít na základě velice jemných změn stavu systému, ve kterém se potenciál změny dlouhodobě akumuloval, k přechodu může dojít naráz, skokově a dramaticky. Stejně tak i evoluce probíhá zdánlivě nepozorovatelně, naráz se však nastřádaná kvantita potenciální změny skokem přemění na novou kvalitu.