Kvazikrystalická symetrie
Symetrie atomů
Atomy v krystalu jsou uspořádané do pravidelné opakující se struktury neboli mřížky, která má velkou míru symetrie. Symetrie zahrnují bodovou symetrii, která měří, jak souměrné jsou atomy rozmístěné kolem daného bodu v mřížce, a translační symetrii, jíž se struktura celé mřížky opakuje v pevně daných vzdálenostech v jednotlivých směrech. Toto je trojdimenzionální struktura v krystalické mřížce. Jako příklad dvojdimenzionální struktury lze uvést například nekonečné pole čtvercových dlaždic.
Ví se, že ve skutečnosti existuje celkem sedmnáct typů krystalografických matematických grup symetrií v rovině – nebo názorněji sedmnáct typů vzorů na tapety. Ve třech dimenzích je přesně třicet dva bodových grup, které zkombinované s posunutími dávají 230 různých typů krystalických symetrií. Tato klasifikace je fundamentální pro fyziku pevných látek. Ve čtyřech dimenzích je 4783 typů krystalů, výsledky pro vyšší dimenze jsou zatím teoretické a neúplné. (Nutno podotknout, že se zde hovoří o matematických rozměrech.)
Kvazikrystalická symetrie

Z klasifikace krystalů vyplývá, že žádná krystalická mřížka nemůže mít pětičetnou symetrii (jako pětiúhelník), vyskytují se jen dvou, tří, čtyř a šestičetné symetrie. Ale nedávno fyzici odhalili novou strukturu pevných látek zvanou kvazikrystal, ve které se pětičetná symetrie vyskytuje. Kvazikrystaly nemají tradiční strukturu krystalu, protože detaily lokální situace se u nich při posunutí mění. Nicméně vykazují jistý druh dalekodosahové struktury – je jen málo možných směrů, ve kterých mohou být vazby mezi atomy, a ty jsou v celém kvazikrystalu stejné. Takové vzory původně objevil R.A.Penrose jako matematickou hříčku, jak je vidět na následujícím obrázku.

Penrose vymyslel dva tvary dlaždic, šipky a draky, kterými lze pokrýt celou rovinu, bez jakékoliv periodicity. A.MacKay našel třídimenzionální verzi těchto dlaždic. Na pevné matematické základy postavili tyto myšlenky D.Levine a P. Steinhardt a v přírodě zpozoroval předpovězený kvazikrystal D.Schechtman se spolupracovníky ve slitině hliníku a manganu.

Arabští učenci a kvazikrystalická struktura
Islámská středověká kultura byla mnohem pokročilejší v matematice, než si moderní vědci doposud mysleli. Ornamenty na zdech mešit tvoří mnohoúhlé, vzájemně do sebe zapadající dlaždice, které se nikdy neopakují v úplně stejných obrazcích. Celý umělecký útvar přesto vytváří dojem zvláštního typu symetrie. A to všechno pět set let před matematickým objevením těchto moderních výpočtů západní matematikou a geometrií, jak ukazuje následující obrázek.

Vznik podobných útvarů popisuje takzvaná kvazikrystalická geometrie, kterou vysvětlil v moderní době až britský matematik Roger Penrose. Odborníci z amerických univerzit se proto domnívají, že staří umělci znali teorii kvazikrystalické geometrie a že ji využili k vytvoření zvláštních předloh, podle kterých vytvářeli obrazce na zdech mešit. Ty se skládaly z pěti na sebe navazujících víceúhelníků – desetiúhelníku, pětiúhelníku, kosočtverce, motýlku a šestiúhelníku. Tato metoda byla použita v mešitě íránského Isfahánu nebo v medrese v iráckém Bagdádu a odtud se postupně začala rozšiřovat po celé Asii.