Krása skrytá v symbolech

Krása skrytá v symbolech

Velká část matematiky by nemohla existovat bez algebraických symbolů. Skutečně se zde jedná o hluboký problém, který je spojen s rozpoznávacími schopnostmi člověka. Vymezení obsahu abstraktních pojmů a vývoj vhodného jazyka k jejich popisu jsou dvěma stranami téže mince. Užití symbolu - písmene, slova nebo obrázku - k označení abstraktního pojmu jde ruku v ruce s vymezením pojmu jako takového. Užití číslice 7 k označení čísla 7 vyžaduje, aby pojem “čísla 7″ byl definován. Symbol nám tak umožňuje o pojmech přemýšlet a dávat je do vzájemných vztahů.

Anglický matematik G.Hardy o struktuře matematiky napsal:

“Matematický výtvor, stejně jako obraz nebo báseň, musí být krásný, jeho myšlenky, podobně jako barvy nebo slova, musí tvořit harmonický celek. Krása je prvotním hlediskem: pro ošklivou matematiku není ve světě místo. Definovat matematickou krásu může být nesnadné, to ovšem platí pro krásu každého druhu. Pro nejednoho člověka je asi těžké vyjádřit, co rozumí pod pojmem krásná báseň, to mu ale nebrání, aby takovou báseň při čtení rozpoznal.”

Krása, na niž se Hardy odvolával, je v mnoha případech vysoce abstraktní – vnitřní krása, krása abstraktní formy a logické struktury - krása, jež může být viděna a prožívána pouze lidmi s hlubokou znalostí daného oboru. Slovy slavného anglického matematika B.Russela:

“Matematika se popravdě řečeno nepyšní pouze pravdivostí, ale také svrchovanou krásou – krásou chladnou a strohou, jakou nalézáme u soch, krásou, jež se neodvolává k žádné slabé stránce naší přirozenosti, krásou bez zbytečného pozlátka, které je běžné v hudbě či malířství – a přesto vznešeně čistou a stroze dokonalou, takovou, jíž se pyšní jen největší umělecká díla.”

Poincaré a stopy chaosu

Poincaré a stopy chaosu

Mezi všemi matematiky dvacátého století byl posledním velkým matematikem se všestranným zájmem Henri Poincaré. Největší Poincaréův příspěvek spočívá v návratu vizuálního znázornění zpět do matematiky. Od 17. stol. se postupně styl evropských matematiků přesouval od geometrie, tedy od matematiky zobrazení, k algebře, k matematice vzorců. Poincaré zvrátil tento trend a obrátil pozornost opět k viditelným strukturám.

Vizuální matematika, kterou Poincaré vytvořil, není ovšem eukleidovskou geometrií. Je to geometrie nového druhu, je to matematika struktur a vztahů známá jako topologie. Topologie je geometrií, ve které všechny délky, úhly a plochy mohou být libovolně zkřiveny. Tak trojúhelník lze spojitě transformovat v pravoúhelník, pravoúhelník ve čtverec, čtverec v kruh. Podobně krychle může být transformována na válec, válec na kužel, kužel na kouli.

Poincaré využil topologických představ k analýze kvalitativních vlastností složitých dynamických problémů a položil tak základy matematice komplexity. Jedním z problémů, které tímto způsobem analyzoval, byl proslulý problém tří těles v nebeské mechanice – relativní pohyb tří těles, která na sebe vzájemně působí svojí gravitací. Poincaré dokázal určit obecný tvar jejich trajektorií a shledal, že je úžasně složitý:

“Když se pokoušíme znázornit obraz tvořený těmito dvěma křivkami a jejich nesčíselnými průsečíky, shledáme, že tyto průsečíky tvoří jakousi síť, tkáň nebo nekonečně těsné předivo, v němž žádná z těchto křivek se sama nepřekříží, ale většinou se ohýbá zpět na sebe velmi složitým způsobem a protíná spojení pletiva nekonečněkrát. Člověk je konsternován složitostí tohoto obrazce, který se nepokouší ani nakreslit.”

To co měl Poincaré na mysli, se nyní nazývá “podivný atraktor”. Ukázal, že jednoduché deterministické rovnice mohou produkovat neuvěřitelnou složitost, která uniká všem pokusům o předpověď a zpochybnil tak základy newtonovské mechaniky. Jinými slovy “zahlédl stopy chaosu”.

Zpětná vazba a iterace

Zpětná vazba a iterace

Důležitou vlastností nelineárních systémů je častý výskyt sebezesilujících zpětnovazebných procesů. V klasických lineárních systémech malé změny produkují malé efekty a velké efekty vznikají buď působením velkých změn, nebo sumou mnoha malých změn. V nelineárních systémech naopak mohou malé změny působit dramatické efekty, protože se mohou opakovaně násobit sebezesilujícími zpětnými vazbami.

Matematicky odpovídá zpětnovazební smyčka zvláštnímu druhu nelineárního procesu známého jako iterace (opakování), v němž se funkce aplikuje opakovaně sama na sebe. Čili výsledek funkce je zároveň po první iteraci zpětně vstupní proměnnou matematické operace. Například jestliže funkce spočívá v opakovaném násobení proměnné x třemi, tj. f(x)=3x, iterace pak spočívá v opakovaném násobení, kde je x->3x, 3x->9x, 9x->27x atd.

V nelineárních systémech nacházíme často iteraci, která je velice jednoduchá, přesto vytváří bohatou složitost. Je to mapování x->kx(1-x), kde proměnná x je omezena na hodnoty mezi 0 a 1. Toto mapování známé matematikům jako “logistické mapování”, má mnoho důležitých aplikací. Užívají je např. ekologové k popisu růstu populace pod vlivem protichůdných tlaků, a je proto též známo jako “růstová rovnice”.

Bifurkační diagram funkce logistického mapování

Nelinearita

Nelinearita

Nelineární jevy dominují v neživém světě mnohem více, než jsme si dříve mysleli, a jsou zásadním aspektem uspořádání živých systémů. Dynamická systémová teorie je první matematikou, která umožňuje zabývat se úplnou složitostí těchto nelineárních dějů. Moderní výzkum nelineárních systémů přiměl vědce, aby přehodnotili některé nejzákladnější názory na vztahy mezi matematickým modelem a jevy, které tento model popisuje. Jeden z těchto názorů se týká našeho porozumění jednoduchosti a složitosti.

Mysleli jsme, že ve světě lineárních rovnic se systémy popsané jednoduchými rovnicemi chovají jednoduchým způsobem, zatímco systémy popsané komplikovanými rovnicemi se chovají způsobem komplikovaným. V nelineárním světě – který, jak se začíná zjišťovat, zahrnuje většinu reálného světa – mohou jednoduché deterministické rovnice vést k neočekávané bohatosti a rozmanitosti chování. Na druhé straně složité a zdánlivě chaotické chování může vést ke vzniku uspořádaných subtilních a krásných struktur. Chování chaotického systému není pouze náhodné, ale vykazuje hlubší úroveň strukturovaného uspořádání. Nové matematické techniky umožňují tyto skryté struktury zviditelnit právě pomocí nelineárních rovnic.

Dva pohledy na Gödela

Dva pohledy na Gödela

Gödelova monumentální demonstrace, že složité matematické systémy mají samy v sobě meze pro to, co jsou schopny dokázat, postupně změnila způsob, jímž filozofové a vědci nazírají svět, i naše úsilí svět pochopit. Na Gödelovu větu o neúplnosti existuje několik rozdílných pohledů. Například jako negativní vývod by mohl být považován názor o nemožnosti pochopení vesmíru, který by byl nutně pravdivý, jak jej prezentuje Stanley Jaki. Tento autor řady teologických a vědeckých pojednání o tom říká:

“Nepochybně žádná vědecká kosmologie, která musí být nezbytně ve vysoké míře matematická, nemůže mít uvnitř sebe samé důkaz své bezespornosti, podobně jako toho není schopna matematika. Není-li takové bezespornosti, všechny matematické modely, se podstatně vzdalují tomu, aby byly teoriemi, které díky své apriorní pravdivosti ukazují, že svět může být jedině takový, jaký je, a žádný jiný.”

Jiní vědci jako například Freeman Dyson, přijímají, že Gödel klade ohraničení na naši schopnost objevovat matematické a vědecké pravdy, ale vykládají si to jako záruku, že věda bude mít stále co objevovat. Sám Dyson k tomu s velikou nadějí říká toto:

“Gödel dokázal, že svět čisté matematiky je nevyčerpatelný. Žádný konečný soubor axiomů a pravidel nemůže nikdy vyčerpat celou matematiku, můžeme najít smysluplné matematické otázky, které axiomy ponechají nezodpovězeny. Vidím-li do budoucnosti správně, znamená to, že svět fyziky a astronomie je také nevyčerpatelný. Bez ohledu na to, jak daleko do budoucnosti půjdeme, budou se stále dít nové věci, přicházet nové informace, budou se zkoumat nové světy, oblast života, vědomí a paměti se bude stále rozšiřovat.”

Axiomy teorie množin

Axiomy teorie množin

Sedm axiomů standardní teorie množin, které jsou považovány za dostatečné pro vyvození veškeré matematiky a tedy i pro matematickou reprezentaci fyziky.

1. Axiom extenzionality – dvě množiny jsou si rovny tehdy, obsahují-li tytéž členy.
2. Axiom vydělení – je-li dána množina S a nějaká jasně vymezená vlastnost, pak existuje množina obsahující právě ty členy S, které tuto vlastnost mají.
3. Axiom dvojice – jsou-li dány dvě různé množiny, pak existuje jiná množina, která obsahuje jako členy právě tyto dvě množiny.
4. Axiom sumy – je-li dána množina S, jejíž členy jsou samy množinami, pak existuje množina, jejíž členy jsou právě členy členů S.
5. Axiom nekonečna – existuje přinejmenším jedna nekonečná množina (tj. možina přirozených čísel).
6. Axiom potence – pro každou množinu S existuje jiná množina, jejímiž členy jsou právě podmnožiny S.
7. Axiom výběru – je-li S množina množin, která není prázdná, a žádné dva různé členy S nemají společný prvek, pak existuje množina, která sestává z prvků vybraných po jednom z každé množiny S.

Slavný logik Kurt Gödel o těchto axiomech řekl:

“Navzdory tomu, že jsou vzdáleny smyslové zkušenosti, máme i pro objekty teorie množin jakýsi typ vnímavosti, jak je vidět z toho, že axiomy samy nás nutí, abychom je považovali za pravdivé. Nevidím žádný důvod, proč bychom měli mít méně důvěry v tento druh vnímání, tj. v matematickou intuici, nežli ve vjemy smyslové… I tyto axiomy mohou představovat jistý aspekt objektivní reality.”

Fuzzy logika

Fuzzy logika

Počítačová logika je tradičně omezena na ano/ne a jednička/nula nebo pravda/lež a černá/bílá, jak to vyjadřuje dvojkový (binární) systém. Konvenční počítače se při řešení problémů a při numerických výpočtech opírají o binární Booleovu algebru. Avšak naše mozky operují často s neurčitými tvrzeními, s nejistotou a s hodnotovými soudy. Moderní odvětví fuzzy logiky se pokouší sestrojit logický model lidského uvažování, který by odrážel jeho přibližnou a kvalitativní povahu. Jde v podstatě o třístavouvou logiku, kde třetím stavem je nerozhodnost.

Až ve 20.století si logikové jako Jan Lukasiewicz, Emil Post a Alfred Tarski uvědomili, že mohou formulovat logické systémy odlišné od Aristotelova. Odmítli zákon vyloučeného třetího (který říká, že každé tvrzení je buď pravdivé, nebo nepravdivé) a připustili výroky, které mohou být buď pravdivé, nepravdivé nebo nerozhodnuté. Pozdější vývoj dokonce podporoval ještě více než tři alternativní volby. Nebylo důvodu dávat přednost jednomu logickému systému před jiným – všechny jsou stejně konzistentní. Zda se má při popisu přírodních jevů preferovat jeden před jiným, je třeba rozhodnout empiricky, nikoli abstraktním filozofickým argumentováním.

Průkopníkem fuzzy logiky byl Lotfi Zadeh z Kalifornské univerzity v Berkeley, sám o ní píše toto:

“Někomu může připadat, že si pojem fuzzy výpočetní technika sám sobě odporuje, protože výpočty si obvykle spojujeme s přesně definovanými operacemi na přesně definovaných množinách. Většina lidského myšlení je však spíše přibližná než přesná. V současnosti dobře nechápeme, jak to dělají, ale lidé mají pozoruhodnou schopnost rozumně se rozhodovat v situacích charakterizovaných nejistotou a nepřesností. Dokážeme rozumět zkomolené řeči, rozluštit lajdácky napsané písmo, zaparkovat v těsném prostoru, rozumět poezii a udělat shrnutí složitých příběhů. Přitom neprovádíme žádné výpočty v běžném smyslu slova. Zpracováváme informaci, což právě dělají počítače, ale objekty našich úvah obecně nejsou čísla, nýbrž rozmazané fuzzy obrazce bez ostře vymezených hranic.”

Jazyk komplexity

Jazyk komplexity

Právě tak jako nemůžeme rozumět žádnému lidskému jazyku, aniž bychom znali jeho gramatiku, lze komplexitu plně uchopit a nakládat s ní jen tehdy, budeme-li znát její vlastní gramatickou strukturu vyjádřenou jazykem matematiky. Ve sféře matematiky je definice komplexity jednoznačná. Tam je komplexita problému definovaná jako počet matematických operací potřebných k jeho řešení. Měřením stupně komplexity daného problému se zabývá matematická teorie složitosti. Říká nám, zda bude problém zvládnutelný – tedy zda se vyplatí pokusit se ho systematicky řešit. Jelikož mnoho stránek komplexity přírody se týká řešení obtížných problémů (ať už je to vývoj nejlepšího enzymu pro trávení jídla nebo dostatečně ostrý zrak, aby si v noci všiml predátora), existuje hluboká souvislost mezi matematickou a přírodovědeckou komplexitou.

Velký francouzský matematik Henri Poincaré již na konci 19. století ukázal, že pohyb pouhých tří těles je příliš složitý na to, aby jeho matematické řešení mělo přehledný a uzavřený tvar. Tím nastínil moderní pojetí teorie chaosu. Jako příklad matematicky komplexního problému lze uvést popis toho, jak se mozek učí prostřednictvím své interakce s vnějším světem nebo jak evoluce došla k tak komplikovaným orgánům, jako je v prvé řadě mozek. Takové problémy leží mimo dosah pera a matematické analýzy. Jediným prostředkem k jejich řešení jsou díky svým nesmírným možnostem počítače.

Abychom se mohli s komplexitou vypořádat pomocí počítače, potřebujeme inteligenci, která je nezbytná k přesné matematické formulaci problému, na nějž se chystáme a hrubou výpočetní sílu která je schopná v určitém čase tento výpočet provést. Věda o komplexitě je složitě propojena s počítačovou technikou a rozhodujícím způsobem na ní závisí. Závratný růst výkonu počítačů v průběhu posledních padesáti let umožnil přírodovědcům a matematikům simulovat postupně stále složitější a stále zajímavější jevy.

Kleinova láhev

Kleinova láhev 

Jedná se o dvojrozměrný geometrický útvar, který si lze zjednodušeně představit jako uzavřenou nádobu, která nemá vnitřek ani vnějšek. Tento útvar nelze realizovat v trojrozměrném prostoru aniž by nedošlo k vzájemnému protnutí stěn (toto je hypoteticky možné akorát v prostoru čtyřrozměrném). Topologicky zajímavou vlastností Kleinovy láhve je tzv. neorientovatelnost, kdy se nelze korektně rozhodnout, který bod v prostoru je “venku” a který “uvnitř” a z toho přímo vyplývá, že plocha tohoto tělesa má jen jeden povrch. Kleinova láhev je pojmenována po německém matematikovi Felixi Kleinovi, který ji roku 1882 jako první popsal.

Schematický 3D počítačový model Kleinovy láhve

Umělecké ztvárnění Kleinovy láhve ze skla

Wieferichovo prvočíslo

Wieferichovo prvočíslo

Nejprve stručná definice co to vůbec prvočíslo je: “je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (1 není prvočíslo).” Příklad řady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 … řada pokračuje až do nekonečna – zatím sice neexistuje důkaz, který by potvrdil, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojic, ale předpokládá se, že tomu tak je !

Speciálním druhem prvočísel jsou tzv. Wieferichova prvočísla, která objevil při studiu teorie čísel a fermátovy věty německý matematik Arthur Wieferich (1884-1954).

• Platí zde vztah, že po umocnění dvojky na p-1 a následném vydělení druhou mocninou čísla p máme obdržet jako zbytek po dělení číslo 1. Pokud ano, nazýváme takové prvočíslo Wieferichovo prvočíslo.

Jediná dosud známá Wieferichova prvočísla jsou 1093 a 3511. Číslo 1093 v roce 1913 spočítal podle Wieferichova vzorce matematik W.Meissner a číslo 3511 v roce 1922 holandský matematik N.Beeger. Není ani známo, zda Wieferichových čísel je nutně konečně mnoho. Dostupná vědecká literatura uvádí, že zhruba do řádu 10^15 neexistuje další Wieferichovo prvočíslo kromě zmíněných dvou – horní hranice se pochopitelně s nasazením výpočetní techniky bude dále posouvat.

Dnes se ukazuje, že význam Wieferichových prvočísel je mnohem větší než se původně předpokládalo. Jsou např. známy aplikace v asymetrických kryptografických systémech, ale využití může být i v dalších oborech zabývajících se především kódováním. Na této stránce se lze zapojit do hledání těchto exotických prvočísel http://www.elmath.org/

Matematika – Věda o strukturách

Matematika – Věda o strukturách

Jelikož matematika je velice abstraktní věda, dlouhou dobu byl problém vytvořit obecně přijatelnou teorii o čem vlastně pojednává. V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí a to, že : “matematika je vědou o strukturách”. Matematik zkoumá abstraktní numerické struktury, struktury tvarů, zákony pohybu, principy chování a rozhodování, podstatu pravděpodobnosti atd.

Všechny struktury mohou být skutečné nebo uměle sestavené, zjevné nebo skryté, statické nebo dynamické, kvalitativní nebo kvantitativní, ryze účelové nebo vymyšlené jen tak pro zábavu. Jejich podstata vychází ze světa, který nás obklopuje, z hlubin prostoru a času i z labyrintu lidské mysli. Podle různých typů struktur pak vznikla rozličná odvětví matematiky.

• Aritmetika a numerika – zkoumají struktury čísel a počítání.
• Geometrie – se zabývá strukturou tvarů.
• Diferenciální a integrální počet – nám umožňuje studovat pohyb a změnu.
• Logika – analyzuje principy uvažování.
• Teorie pravděpodobnosti – se snaží stanovit nějaký řád pro náhodné jevy.
• Topologie – zachycuje podstatu vzájemné polohy a podobnosti.

Ačkoliv zmíněný výběr nepostihuje všechny důležité obory, měl by přesto poskytnout docela dobrý všeobecný pohled na současnou problematiku matematiky. Složitost a abstrakce většiny matematických struktur neobyčejně ztěžuje použití jiné než v podobě symbolického zápisu. A tak se s vývojem matematiky ve stále větší míře používá i abstraktní zápis – a to v podobě algebraických výrazů, rovnic, komplikovaných definic a grafů.