Fuzzy logika

Fuzzy logika

Počítačová logika je tradičně omezena na ano/ne a jednička/nula nebo pravda/lež a černá/bílá, jak to vyjadřuje dvojkový (binární) systém. Konvenční počítače se při řešení problémů a při numerických výpočtech opírají o binární Booleovu algebru. Avšak naše mozky operují často s neurčitými tvrzeními, s nejistotou a s hodnotovými soudy. Moderní odvětví fuzzy logiky se pokouší sestrojit logický model lidského uvažování, který by odrážel jeho přibližnou a kvalitativní povahu. Jde v podstatě o třístavouvou logiku, kde třetím stavem je nerozhodnost.

Až ve 20.století si logikové jako Jan Lukasiewicz, Emil Post a Alfred Tarski uvědomili, že mohou formulovat logické systémy odlišné od Aristotelova. Odmítli zákon vyloučeného třetího (který říká, že každé tvrzení je buď pravdivé, nebo nepravdivé) a připustili výroky, které mohou být buď pravdivé, nepravdivé nebo nerozhodnuté. Pozdější vývoj dokonce podporoval ještě více než tři alternativní volby. Nebylo důvodu dávat přednost jednomu logickému systému před jiným – všechny jsou stejně konzistentní. Zda se má při popisu přírodních jevů preferovat jeden před jiným, je třeba rozhodnout empiricky, nikoli abstraktním filozofickým argumentováním.

Průkopníkem fuzzy logiky byl Lotfi Zadeh z Kalifornské univerzity v Berkeley, sám o ní píše toto:

“Někomu může připadat, že si pojem fuzzy výpočetní technika sám sobě odporuje, protože výpočty si obvykle spojujeme s přesně definovanými operacemi na přesně definovaných množinách. Většina lidského myšlení je však spíše přibližná než přesná. V současnosti dobře nechápeme, jak to dělají, ale lidé mají pozoruhodnou schopnost rozumně se rozhodovat v situacích charakterizovaných nejistotou a nepřesností. Dokážeme rozumět zkomolené řeči, rozluštit lajdácky napsané písmo, zaparkovat v těsném prostoru, rozumět poezii a udělat shrnutí složitých příběhů. Přitom neprovádíme žádné výpočty v běžném smyslu slova. Zpracováváme informaci, což právě dělají počítače, ale objekty našich úvah obecně nejsou čísla, nýbrž rozmazané fuzzy obrazce bez ostře vymezených hranic.”

Jazyk komplexity

Jazyk komplexity

Právě tak jako nemůžeme rozumět žádnému lidskému jazyku, aniž bychom znali jeho gramatiku, lze komplexitu plně uchopit a nakládat s ní jen tehdy, budeme-li znát její vlastní gramatickou strukturu vyjádřenou jazykem matematiky. Ve sféře matematiky je definice komplexity jednoznačná. Tam je komplexita problému definovaná jako počet matematických operací potřebných k jeho řešení. Měřením stupně komplexity daného problému se zabývá matematická teorie složitosti. Říká nám, zda bude problém zvládnutelný – tedy zda se vyplatí pokusit se ho systematicky řešit. Jelikož mnoho stránek komplexity přírody se týká řešení obtížných problémů (ať už je to vývoj nejlepšího enzymu pro trávení jídla nebo dostatečně ostrý zrak, aby si v noci všiml predátora), existuje hluboká souvislost mezi matematickou a přírodovědeckou komplexitou.

Velký francouzský matematik Henri Poincaré již na konci 19. století ukázal, že pohyb pouhých tří těles je příliš složitý na to, aby jeho matematické řešení mělo přehledný a uzavřený tvar. Tím nastínil moderní pojetí teorie chaosu. Jako příklad matematicky komplexního problému lze uvést popis toho, jak se mozek učí prostřednictvím své interakce s vnějším světem nebo jak evoluce došla k tak komplikovaným orgánům, jako je v prvé řadě mozek. Takové problémy leží mimo dosah pera a matematické analýzy. Jediným prostředkem k jejich řešení jsou díky svým nesmírným možnostem počítače.

Abychom se mohli s komplexitou vypořádat pomocí počítače, potřebujeme inteligenci, která je nezbytná k přesné matematické formulaci problému, na nějž se chystáme a hrubou výpočetní sílu která je schopná v určitém čase tento výpočet provést. Věda o komplexitě je složitě propojena s počítačovou technikou a rozhodujícím způsobem na ní závisí. Závratný růst výkonu počítačů v průběhu posledních padesáti let umožnil přírodovědcům a matematikům simulovat postupně stále složitější a stále zajímavější jevy.

Kleinova láhev

Kleinova láhev 

Jedná se o dvojrozměrný geometrický útvar, který si lze zjednodušeně představit jako uzavřenou nádobu, která nemá vnitřek ani vnějšek. Tento útvar nelze realizovat v trojrozměrném prostoru aniž by nedošlo k vzájemnému protnutí stěn (toto je hypoteticky možné akorát v prostoru čtyřrozměrném). Topologicky zajímavou vlastností Kleinovy láhve je tzv. neorientovatelnost, kdy se nelze korektně rozhodnout, který bod v prostoru je “venku” a který “uvnitř” a z toho přímo vyplývá, že plocha tohoto tělesa má jen jeden povrch. Kleinova láhev je pojmenována po německém matematikovi Felixi Kleinovi, který ji roku 1882 jako první popsal.

Schematický 3D počítačový model Kleinovy láhve

Umělecké ztvárnění Kleinovy láhve ze skla

Wieferichovo prvočíslo

Wieferichovo prvočíslo

Nejprve stručná definice co to vůbec prvočíslo je: “je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (1 není prvočíslo).” Příklad řady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 … řada pokračuje až do nekonečna – zatím sice neexistuje důkaz, který by potvrdil, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojic, ale předpokládá se, že tomu tak je !

Speciálním druhem prvočísel jsou tzv. Wieferichova prvočísla, která objevil při studiu teorie čísel a fermátovy věty německý matematik Arthur Wieferich (1884-1954).

• Platí zde vztah, že po umocnění dvojky na p-1 a následném vydělení druhou mocninou čísla p máme obdržet jako zbytek po dělení číslo 1. Pokud ano, nazýváme takové prvočíslo Wieferichovo prvočíslo.

Jediná dosud známá Wieferichova prvočísla jsou 1093 a 3511. Číslo 1093 v roce 1913 spočítal podle Wieferichova vzorce matematik W.Meissner a číslo 3511 v roce 1922 holandský matematik N.Beeger. Není ani známo, zda Wieferichových čísel je nutně konečně mnoho. Dostupná vědecká literatura uvádí, že zhruba do řádu 10^15 neexistuje další Wieferichovo prvočíslo kromě zmíněných dvou – horní hranice se pochopitelně s nasazením výpočetní techniky bude dále posouvat.

Dnes se ukazuje, že význam Wieferichových prvočísel je mnohem větší než se původně předpokládalo. Jsou např. známy aplikace v asymetrických kryptografických systémech, ale využití může být i v dalších oborech zabývajících se především kódováním. Na této stránce se lze zapojit do hledání těchto exotických prvočísel http://www.elmath.org/

Matematika – Věda o strukturách

Matematika – Věda o strukturách

Jelikož matematika je velice abstraktní věda, dlouhou dobu byl problém vytvořit obecně přijatelnou teorii o čem vlastně pojednává. V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí a to, že : “matematika je vědou o strukturách”. Matematik zkoumá abstraktní numerické struktury, struktury tvarů, zákony pohybu, principy chování a rozhodování, podstatu pravděpodobnosti atd.

Všechny struktury mohou být skutečné nebo uměle sestavené, zjevné nebo skryté, statické nebo dynamické, kvalitativní nebo kvantitativní, ryze účelové nebo vymyšlené jen tak pro zábavu. Jejich podstata vychází ze světa, který nás obklopuje, z hlubin prostoru a času i z labyrintu lidské mysli. Podle různých typů struktur pak vznikla rozličná odvětví matematiky.

• Aritmetika a numerika – zkoumají struktury čísel a počítání.
• Geometrie – se zabývá strukturou tvarů.
• Diferenciální a integrální počet – nám umožňuje studovat pohyb a změnu.
• Logika – analyzuje principy uvažování.
• Teorie pravděpodobnosti – se snaží stanovit nějaký řád pro náhodné jevy.
• Topologie – zachycuje podstatu vzájemné polohy a podobnosti.

Ačkoliv zmíněný výběr nepostihuje všechny důležité obory, měl by přesto poskytnout docela dobrý všeobecný pohled na současnou problematiku matematiky. Složitost a abstrakce většiny matematických struktur neobyčejně ztěžuje použití jiné než v podobě symbolického zápisu. A tak se s vývojem matematiky ve stále větší míře používá i abstraktní zápis – a to v podobě algebraických výrazů, rovnic, komplikovaných definic a grafů.